DISTRIBUSI PELUANG
A.
Distribusi Binomial
Diperhatikan sebuah eksperimen yang
hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A (ditulis), dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan sebanyak
N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan
sisannya (N-X) peristiwa.
Jika+ P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),
maka peluang
terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:
P(x) = P(X=x) = ( x
(1-∏) n-x
Dengan N! +
1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut merupakan
koefisienbinomial
Rumus : = N
σ
=
dimana
parameter ditinjau dari peristiwa A.
contoh :
1.
Peluang untuk mendapatkan 6
muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam homogin sebanyak
10 kali adalah :
P
(x=7) = ((1/2)4
= 0,2050
2.
Pada pelemparan sebuah mata
uang logam yang homogen sebanyak 5 kali, ditentukan X = banyaknya G (gambar)
yang muncul. Carilah P (X≤2)
Jawab : =1/2, X = 5
P(X≤2) = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)
P9X=0) = () (1/2) 0(1/2)5 = 0,0312
P(X=1) = () (1/2) 1(1/2)4
=
0,1562
P(X=2) = () (1/2) 2 (1/2)5
=
0,3125
P(X≤2) = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993
B.
Distribusi Poisson
Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan
dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil
|
Rumus : P(X) = P (X=x) =
Dimana
: x = 0, 2, ………. =
banyaknya sukses
e =
2,7183
λ = bilangan tetap = n π
n = banyaknya ulangan yang dilakukan
distribusi poisson mempunyai parameter :
μ = λ
σ = 
contoh :
Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat
parade akibat terik matahari adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari
3000 pengunjung parade tersebut, trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik
matahari.
Jawab
: π =
0,005 n = 3000
λ = n π = 3000 (0,005) =
15
|
P(X) = P
(X=x) = = 
= 0,0706
= 0,0706
C.
Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan
distribusi dengan variabel acak kentinu dan merupakan distribusi yang sangat
dominan.
Distribusi normal sering disebut sebagai distribusi Gauss.
Jika
variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :
F(x) = 
Dimana : π = 3,1416
e = 2,7183
μ = parameter merupakan
rata-rata untuk distribusi
σ = parameter merupakan
simpangan baku untuk distribusi
nilai x : - 
, maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
, maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
Apabila 
= 1 dan 
= 0, maka diperoleh distribusi standar.
= 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.
Fungsi identitasnya :
F(z) = 
Untuk Z ; - < Z <
< Z <
Mengubah distribusi
normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh dengan
menggunakan transforamsi:
Z = 
;
;
Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi
standar
Untuk m = 0 dan s = 1
Kurva normal
mempunyai sifat-sifat antara lain:
- bentuknya simetrik terhadap sumbu x = m
- grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
- grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3s kekanan sampai m + 3s
- mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar
- luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang kelima dengan rumus:
f (x) = 
, adalah:
, adalah:
. Untuk
menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan
rumus:
P (a < X
< b) = 
dk, untuk
penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang
dimaksudkan.
dk, untuk
penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang
dimaksudkan.
Setelah kita
memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal umum
dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari
distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:
- hitung Z hingga dua desimal
- gambarkan kurvanya
- letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.
- luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak dititik nol.
- dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
- dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.
Bilangan
yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh luas
= 1 dan kurva simetrik terhadap m = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol
kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.
Contoh:
Penggunaan
daftar normal baku.
Akan dicari luas daerah:
antara z = 0
dan z = 2,26
Di baah Z
pada kolom kiri cari 2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu ke kanan dan dari 6 menurut didapat
4881 luas daerah yang dicari 0,4881
- antara z = 0 dan z = -2,26
Di bawah Z
pada kolom kiri cari 2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2 maju ke kanan dan
dari 6 menurun di dapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881
anara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik
terlihat kita perlu mencari luas daerah dua kali, lalu dijumlahkan dengan
cara seperti no. 1
untuk z =
1,5 didapat 0,4332
untuk z = 1,26 didapat 0,3962
jumlah =
luas yang dicari = 0,8294
- Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:
a. ada berapa bayi yang beratnya lebih dari
4500 gram?
b. Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500
gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.0000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000 gram, jika semuanya
ada 10.000 bayi
d. Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram
jika semuanya ada5000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X =
berat bayi dalam gram, m =rerata berat bayi dalam gram, m = 3750 gram, s = 325 gram, maka:
a.
untuk X = 4500
Z = 
gram, pada
grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 luasnya
0,4896 ,
luas daerah lebih besar 2,31 luas daerah ini
= 0,5 – 0,4896
= 0,0104. jika ada 1.04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram
b. 
dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z =
dan Z = 2,31
dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31
Luas daerah yang dibatasi
anara --0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794 dengan 0,4896 = 0,7690.
Banyaknya bayi yang beratnya
antara 3500 gram sampai 4500 gram adalah = 0,7690 x 10000 =7690
c. Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama
dengan 4000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = 
peluang bayi yang lebih kecil atau sama dengan
4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi = (0,2206) x 10,000 = 2,206
peluang bayi yang lebih kecil atau sama dengan
4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi = (0,2206) x 10,000 = 2,206
d. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5 gram dan 4250,5 gram.
Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5
didapat:
Z = 
Z = 
Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370
= 0,0012
Banyaknya bayi = 0.0012 x
5000 = 6
D.
Distribusi Student (t)
Distribusi
dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah
distribusi student atau distribusi t.
Rumus : t = 
Dimana:
= Rata-rata sampel
m =
rata-rata populasi
s
= simpang baku, populasi
Maka di dapat distribusi harga t dengan
persamaan:
f (t) = 
dimana:
K =
merupakan bilangan tetap yang besarnya
bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah kurwa sama dengan satu
unit.
(n – 1) = m = derajat kebebasan, biasa disingkat dengan dk
Bentuk
grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga
sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya >
30, distribusi t mendekati distribusi normal.
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam
daftar. Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama samaran
“student”
Contoh:
Untuk n = 20,
tentukan t supaya luas daerah antara t dengan t = 0,9.
Dari grafik dapat dilihat
bahwa luas luas ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10
Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t
kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.
Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat
harga t = 1,73
Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya
= 0,90
E.
Distribusi Chi Kuadrat (χ2)
Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi
dengan variabel acak kontinu. Simbul yang dipakai ialah χ2.
apabila besar sampel n dan varians s2, maka
: χ2 = 
dan
didapat distribusi sampling χ2 untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0,
v = (n-1) = derajat kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v,
sedemikian sehingga luas daeah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan
e = 2,7183.
dan
didapat distribusi sampling χ2 untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0,
v = (n-1) = derajat kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v,
sedemikian sehingga luas daeah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan
e = 2,7183.
Grafik distribusi x2
umumnya merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin berkurang
kemiringannya jika v makin besar.
Contoh: Gambar di bawah distribusi x2
dengan n = 10
a. Luas daerah yang diarsir sebalah kanak =
0,025, hitung X12
b. Luas daerah yang diarsir sebelah kiri =
0,05, hitung X12
Jawab:
a. v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 =
0,975, dicari pada tabel di dapat X21 = 19,0
b. v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 =
0,95 dicari pada tabel didapat X12
Catatan :
Karena
distribusi X22 tidak simetrik, luas ujung-ujung daerah
yang diarsir bila diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir
dan luas daerah ujung kanan harganya dapat berbeda-beda.
Dalam
beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan
yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.
F.
Distribusi F
Jika S12 dan S22
adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar berturut-turut n1
dan n2 yang berasal dari populasi-populasi normal dengan
varians-varians s12 dan s22, maka distribusi sampling harga S12/
S22 berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1
= v1 = n1 – 1; dk2; v2 = n2
– 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.
Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:
f (F) = K 
dengan variabel acak F memenuhi batas
F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1 dan v2,
sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu. Kurva distribusi F tidak simetrik dan
umumnya sedikit positif.
Tabel distribusi F terdapat pada lampiran,
daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1
dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang
diarsir, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2
pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v1 dan v2.
Daftar berisikan
harga-harga F dengan kedua luas daerah ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v2,
daftar terdiri atas dua baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah
untuk P = 0,01.
Contoh:
Untuk pasangan dk, v1 = 8
dan v2 = 29 ditulis juga (v1, v2) = 8,29),
maka untuk P = 0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.
Meskipun daftar yang diberikan hanya
untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat
nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95 digunakan hubungan:
F(1-P)
(v1, v2) = 
Dalam rumus
di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v1, v2)
menjadi (v1, v2)
Contoh:
Telah
didapat F0,05(8,29) = 2,28
Telah
didapat F0,01 (29,8) = 3,20
Maka F0,099(29,8) = 
Sumber :
Irianto, Agus.
2008.
Statistik Konsep
Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.
Hasan, Iqbal.
2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik
. Jakarta: Bumi
Aksara.
Riduwan. Dasar-Dasar
Statistika.2005. Bandung : Alfabeta.
Sudjana. 2002. Metoda
Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.
Tedjo N
Raksonoatmodjo. 2009. Statistika Teknik.Jakarta : Refilka Aditama
