Kamis, 17 April 2014

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS


  1. Momen
             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’r didefinisikan oleh
Dengan

n =
,
Xi
= tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:
m’r =
, P = Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m
Data
f1
Ci
f1Ci
f1C12
f1C13
f1C14
60 – 63
64 – 67
68 – 71
72 – 75
76 – 70
5
18
42
27
8
-2
-1
0
1
2
-10
-18
0
27
16
20
18
0
37
42
-40
-18
0
27
64
80
18
0
27
128
Jumlah
100
15
97
35
253
Dapat dihitung:
m1 =






m2 =
 

m3 =
m4 =
 
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456
m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........
=  40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6        2x15,52 – 3x0,42
= 60,9424
Jadi Varian S2 = m2 = 15,16
  1. Kemiringan
Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bisa positif, negatif atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh :
Kemiringan  =
Rata-rata - Modus
Simpangan Baku
Rumus empirik untuk kemiringan, adalah :
Kemiringan   =
3 (Rata-rata - Modus)
Simpangan Baku
Rumus-rumus berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan pearson tipe pertama dan kedua.
Kita katakan model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol.
Contoh :  Data nilai ujian 80 mahasiswa telah menghasilkan rata-rata 76,62; Me = 77,3;                       Mo = 77,17 dan simpangan baku s = 13,07.
Kemiringan  =
76,62 - 77,17
= -0,04
13,07
                 
                       
Karena kemiringan negatif dan dekat kepada nol maka modelnya sedikit                miring ke kiri.
C.     KURTOSIS
Kurtosis adalah Ukuran kelancipan distribusi data dimanadistribusi normal sebagai pembanding.
Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan mesokurtik, kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebut platikurtik.
Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan dengan rumus a4 = (m4/m)
Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:
a) a4 = 3    à        Distribusi normal
b) a4 > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik
c) a4 < 3     à        Distribusi yang platikurtik
Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:
κ =
SK = rentang semi antar kuartil
K3 = kuartik ketiga
K1 = kuartil kedua
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke 90
Untuk distribusi normal, harga κ  = 0,263
Untuk contoh di atas telah di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya koefisien kurtosis a4 = (m4/m ) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.
Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil besarnya:
κ =
Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:
No
Nilai Ujian
Fi
1
2
3
4
5
6
7
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
3
5
10
16
24
17
5
Jumlah
80
Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90.
P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F = 3 f = 5
P10 = 40,5 + 10 = 50,5
P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17
P90 = 80,5 + 10 = 81,32

Tidak ada komentar:

Posting Komentar