Salah satu aspek yang paling penting untuk
menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (tendensi sentral).
Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai
yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan
pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral.
Terdapat tiga ukuran tendensi
sentral yang sering digunakan, yaitu:
[ Mean
(Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
[ Median
[ Mode
A.
Mean (arithmetic mean)
Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau
sering disebut dengan istilah meansaja merupakan metode yang paling
banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung
dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan
banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan
dengan persamaan berikut:
Sampel:
Populasi:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus
data pengamatan
n = banyaknya sampel data
N = banyaknya data populasi
= nilai rata-rata sampel
μ =
nilai rata-rata populasi
Mean dilambangkan dengan (dibaca “x-bar”)
jika kumpulan data ini merupakancontoh (sampel) dari
populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean
dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).
Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan
huruf Inggris, , sementaraparameter-parameter populasi biasanya
dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ
a.
Rata-rata hitung (Mean)
untuk data tunggal
Contoh 1:
Hitunglah nilai rata-rata dari
nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
Nilai rata-rata dari data yang
sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus
data pengamatan
fi = frekuensi data
ke-i
n = banyaknya sampel data
= nilai rata-rata sampel
Contoh 2 :
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi
berikut:
|
xi
|
fi
|
|
70
|
5
|
|
69
|
6
|
|
45
|
3
|
|
80
|
1
|
|
56
|
1
|
Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di
atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari
data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
Jawab:
|
xi
|
fi
|
fixi
|
|
70
|
5
|
350
|
|
69
|
6
|
414
|
|
45
|
3
|
135
|
|
80
|
1
|
80
|
|
56
|
1
|
56
|
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
b.
Mean dari data distribusi Frekuensi
atau dari gabungan:
Distribusi Frekuensi:
Rata-rata hitung dari data yang
sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan
menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata
dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus
data pengamatan
fi = frekuensi data
ke-i
= nilai rata-rata sampel
Contoh 3:
Tabel berikut ini adalah nilai
ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda
dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari
data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas =
7 dan panjang kelas = 10).
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
|
Jumlah
|
80
|
Jawab:
Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi)
dan hitung fixi.
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
xi
|
fixi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
35.5
|
71.0
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
45.5
|
136.5
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
55.5
|
277.5
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
65.5
|
851.5
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
75.5
|
1812.0
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
85.5
|
1795.5
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
95.5
|
1146.0
|
|
Jumlah
|
80
|
6090.0
|
Catatan: Pendekatan perhitungan nilai
rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat
dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data
aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan
untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.
Rata-rata
Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean)
Rata-rata
gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean,
atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan
rata-rata hitung dari beberapa sampel.
Contoh
4:
Tiga
sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162.
Berapa rata-ratanya?
Jawab:
B.
Median
Median
dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,...,
xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data
setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n)
ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap,
median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang
berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan
pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di
bawah median dan 50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan
dengan (dibaca "x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari
sampel(dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak
dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi
mereka. Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih
dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:
v
Banyak data ganjil → mediannya
adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
v
Banyak data genap → mediannya
adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data
a.
Median data tunggal:
Untuk menentukan median dari data
tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut.
Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut:
dimana n =
banyaknya data pengamatan.
Median apabila n ganjil:
Contoh 5:
Hitunglah median dari nilai ujian
matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9;
10
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6;
7; 7; 7; 8; 9; 10
banyaknya data (n) = 11
posisi Me = ½(11+1) = 6
jadi Median = 7 (data yang terletak
pada urutan ke-6)|
Nilai Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Urutan data
ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
↑
|
Median
apabila n genap:
Contoh
6:
Hitunglah
median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6;
7; 7; 2; 9
Jawab:
v
data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
v
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6;
7; 7; 7; 8; 9
v
banyaknya data (n) = 10
v
posisi Me = ½(10+1) = 5.5
v
Data tengahnya: 6 dan 7
v
jadi Median = ½ (6+7) = 6.5
(rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)
|
Nilai Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
||||||||
|
Urutan data
ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
||||||||
|
↑
|
||||||||||||||||||
b.
Median dalam distribusi frekuensi:
Formula untuk menentukan median
dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:
b = batas bawah kelas median dari
kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel/banyak data
f = frekuensi kelas median
F = Jumlah semua frekuensi dengan
tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑fi)
Contoh 7:
Tentukan nilai median dari tabel
distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
fkum
|
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
2
|
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
5
|
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
10
|
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
23
|
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
47
|
←letak kelas
median
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
68
|
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
80
|
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
› Letak
kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai
ujian 71-80)
› b =
70.5, p = 10
› n =
80, f = 24
› f =
24 (frekuensi kelas median)
› F =
2 + 3 + 5 + 13 = 23
C.
Mode
Mode adalah data yang paling sering
muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan
meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang
frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik
untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi
oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:
¯ Apabila
pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut
dikatakan bimodal.
¯ Apabila
pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut
dikatakan multimodal.
¯ Apabila
pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut
dikatakan tidak mempunyai modus.
Meskipun suatu gugus data mungkin
saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus
dapat ditentukan secara analitis.
\ Untuk
gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya
sama.
\ Untuk
distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus
\ untuk
distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya,
yaitu mean > median > modus.
Hubungan antara ketiga ukuran
tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun hampir
simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut:
Mean - Mode = 3 (Mean - Median)
a.
Modus Data Tunggal:
Contoh 8:
Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Jawab:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul
adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul
adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua,
yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua
modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung
dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul
adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua,
yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua
modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak
berurutan.
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul
adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada
tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena
modusnya lebih dari dua.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 →
Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu
kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya
b.
Mode dalam Distribusi Frekuensi:
dimana:
Mo = modal = kelas yang memuat modus
b = batas bawah kelas modal
p = panjang kelas modal
bmo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang
nilainya tertinggi)
b1= bmo – bmo-1 = frekuensi kelas
modal – frekuensi kelas sebelumnya
b2 = bmo – bmo+1 = frekuensi kelas
modal – frekuensi kelas sesudahnya
Contoh 9:
Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh
3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
|
|
→ b1 = (24 –
13) = 11
|
|||
|
5
|
71 - 80
|
24
|
← kelas modal
(frekuensinya paling besar)
|
|
→ b2 =(24 –
21) =3
|
|||
|
6
|
81 - 90
|
21
|
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
[ Kelas
modul =kelas ke-5
[ b =
71-0.5 = 70.5
[ b1
= 24 -13 = 11
[ b2
= 24 – 21 = 3
[ p =
10
Selain tiga ukuran tendensi sentral
di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran tendensi sentral lainnya,
yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan rata-rata harmonis (Harmonic
Mean)
D.
Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif x1,
x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari
hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan
formula berikut:
Dimana: U = rata-rata ukur
(rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang
menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering
digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat
perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data
berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk
persentase.
a.
Rata-rata ukur untuk data tunggal
Contoh 10:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab:
atau:
b.
Distribusi Frekuensi:
xi = tanda kelas (nilai tengah)
fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
Contoh 11:
Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada
Contoh 3 di atas!
Jawab
|
Kelas
ke-
|
Nilai
Ujian
|
fi
|
xi
|
log
xi
|
fi.log
xi
|
|
1
|
31
- 40
|
2
|
35.5
|
1.5502
|
3.1005
|
|
2
|
41
- 50
|
3
|
45.5
|
1.6580
|
4.9740
|
|
3
|
51
- 60
|
5
|
55.5
|
1.7443
|
8.7215
|
|
4
|
61
- 70
|
13
|
65.5
|
1.8162
|
23.6111
|
|
5
|
71
- 80
|
24
|
75.5
|
1.8779
|
45.0707
|
|
6
|
81
- 90
|
21
|
85.5
|
1.9320
|
40.5713
|
|
7
|
91
- 100
|
12
|
95.5
|
1.9800
|
23.7600
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
149.8091
|
E.
Rata-rata Harmonik (H)
Rata-rata
harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah
kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat
dinyatakan dengan formula berikut:
Secara
umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk
data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai
ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju
perubahan, seperti kecepatan.
·
Rata-rata harmonic untuk data
tunggal
Contoh 12:
Si A bepergian pulang pergi. Waktu
pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu
kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab:
Apabila kita menghitungnya dengan
menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita
gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat
menggunakan rata-rata harmonik:
·
Rata-rata Harmonik untuk Distribusi
Frekuensi:
Contoh 13:
Berapa rata-rata Harmonik dari
tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
xi
|
fi/xi
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
35.5
|
0.0563
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
45.5
|
0.0659
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
55.5
|
0.0901
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
65.5
|
0.1985
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
75.5
|
0.3179
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
85.5
|
0.2456
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
95.5
|
0.1257
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
1.1000
|
Perbandingan Ketiga Rata-rata
(Mean):
Karakteristik penting untuk ukuran
tendensi sentral yang baik
Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan
nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat
berikut:
\ Harus
mempertimbangkan semua gugus data
\ Tidak
boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.
\ Harus
stabil dari sampel ke sampel.
\ Harus
mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.
Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua
persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata dipengaruhi
oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8;
9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir
adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus
tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik, namun tidak
memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran nilai pusat
yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.
Kapan kita menggunakan nilai
tendensi sentral yang berbeda?
Nilai ukuran
Bila distribusi frekuensi data tidak
normal (tidak simetris), medianatau modus merupakan
ukuran pusat yang tepat.
Apabila terdapat nilai-nilai
ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau
modus.
Apabila distribusi data
normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean,
median, atau modus dapat digunakan. Namun, mean lebih sering
digunakan dibanding yang lainnya karena lebih memenuhi
persyaratan untuk ukuran pusat yang baik.
Ketika kita berhadapan dengan laju,
kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik.
Jika kita tertarik pada perubahan
relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan
sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling
tepat
Referensi:
·
Mario Triola. 2004. Elementary Statistics.
9th Edition. Pearson Education.
·
Stephen Bernstein and Ruth
Bernstein. 1999. Elements of Statistics I: Descriptive Statistics and
Probability. The McGraw-Hill Companies, Inc
·
Web:
- o Indian Agricultural Statistics Research Institute: http://www.iasri.res.in/
Tidak ada komentar:
Posting Komentar